「余弦定理」をClassPad.netで証明してみる

余弦定理は以下の3つの式を満たす公式です。

  • \( a^2 = b^2 + c^2 – 2\cdot b \cdot c \cdot \cos \angle A \)
  • \( b^2 = c^2 + a^2 – 2\cdot c \cdot a \cdot \cos \angle B \)
  • \( c^2 = a^2 + b^2 – 2\cdot a \cdot b \cdot \cos \angle C \)

余弦定理を使うと「2辺の長さとその間の角度から残り1辺の長さ」を求めたり、「3辺の長さからそれぞれの角度」を求めることができます。

この余弦定理をClassPad.netを使って証明してみたいと思います。

角度が鋭角の場合

以下のような点Aの角度が鋭角の三角形ABCを考えます。点Aは原点(0,0)、点Bはx軸上の点(c,0)です。また点Aの角度をAとしたとき、点Cの座標は( \( b\cdot \cos A \) , \( b\cdot \sin A \) )となります。

次に点Cから線ABに垂線を引いて交点を点Hとします。三角形BCHは直角三角形なので三平方の定理より以下が立式できます。

\begin{eqnarray} BC^2 &=& BH^2 + CH^2 \\ a^2 &=& |c-b\cdot \cos A|^2+(b\cdot \sin A)^2 \end{eqnarray}

ClassPad.netで三角関数を入力する場合は \( \cos(A)\) のように括弧を付けましょう。

ここでtCollect()コマンドを使うと三角関数の積を和の形式の式に変換することができます。ansは直前の計算結果を表す変数です。

tCollect(式)

指定した式に含まれる三角関数の積を和の形式の式に変換します。

角度が鈍角の場合

次に点Aの角度が鋭角の三角形ABCを考えます。点Aと点Cはx軸上、点Bはy軸上の点とします。点Aの補角は180°-Aとなるので、

  • 点Aの座標は(\( c\cdot \cos (180^{\circ} – A) \),0)
  • 点Bの座標は( 0, \( c\cdot \sin (180^{\circ} – A) \) )
  • 点Cの座標は( \( b + c\cdot \cos (180^{\circ} – A) \), 0)

となります。

原点に点Hを置くと、三角形BCHは直角三角形なので三平方の定理より以下が立式できます。

\begin{eqnarray} BC^2 &=& BH^2 + CH^2 \\ a^2 &=& (c\cdot \sin(180^\circ – A))^2 + (b+c\cdot\cos(180^\circ-A))^2 \end{eqnarray}

立式ができたのでtCollect()コマンドを使って式を整理します。鋭角の時と同じく、余弦定理の式が導出できました。

角度が直角の場合

最後に角度が直角の場合を考えます。角度が90°であることから

\begin{eqnarray} a^2 &=& b^2 + c^2 – 2\cdot b \cdot c \cdot \cos \angle A \\ &=& b^2 + c^2 \end{eqnarray}

と三平方の定理と等しくなるので、余弦定理が成り立ちます。

以上で余弦定理の証明は終わりです。