「2次関数の最大値と最小値」をClassPad.netで自動計算

2次関数の最大値・最小値を求め方は3通りあります。fmin/fmaxコマンドを使うか、実際にグラフを描いて確認してみるか、もしくは平方完成を行うかです。実際にClassPad.netで計算してみましょう。

fmin/fmaxコマンドを使用する

問題

\( f(x) = x^2-4x+5 \) の最小値を求めましょう。

計算手順

解説

数式の「最小値」を求めるにはfmin()コマンドを使用します。

fmin( 数式 )

指定した数式の最小値を求めます。

一方で「最大値」を求めるにはfmax()コマンドを使用します。

fmax( 数式 )

指定した数式の最大値を求めます。

2次関数のグラフを描画する

問題

\( f(x) = x^2-4x+5 \) の最小値をグラフを描いて求めましょう。

計算手順

解説

ClassPad.netでグラフを描くには「グラフスティッキー」を使います。グラフ式を入力フォームを表示するには、スティッキー下部にある\( f(x) \) ボタンを押します。式の入力フォームには \( f(x) = x^2 -4x + 5 \) もしくは \( y = x^2 -4x + 5 \) を入力します。

描画されたグラフをクリックすると極値(この場合は最小値)のプロットが表示されます。さらにそのプロットをクリックすればプロットの座標 \( (2, 1 )\) がわかります。

結果「\( x = 2 \) のとき、最小値が 1」が求まります。

平方完成を行う

問題

\( f(x) = x^2-4x+5 \) の最小値を平方完成して求めましょう。

計算手順

解説

平方完成は

$$ ax^2+bx+c = a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a}+c $$

という変換を行うものですが、残念ながらClassPad.netでは平方完成を行うコマンドが存在しません。なので、\( x + \frac{b}{2a} \)を括りだす形で式を変形させます。これを実現するのはcollect()コマンドです。

collect( 整理する式, 変数もしくは式 )

指定した変数または式をつかって式を整理します。

第2引数に変数もしくは式を指定すると、その変数を括りだす形で式が整理されます。この場合は \( x-2 \)で整理されていることがわかります。

このままでも最小値が求まりますが、arrange()コマンドを使うと見慣れた平方完成の形になります。

arrange( 整理する式 )

同類項をまとめて、降べきの順になるように式を整理します。

arrange()コマンドは式の共通項をまとめるコマンドです。この場合は \( (x-2)(x-2 \) が \( (x-2)^2 \) という形でまとめられます。 ansは前の計算結果を表す変数です。

結果、\( (x-2)^2+1 \) から「\( x = 2 \) のとき、最小値が 1」が求まります。

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